控制系统的数学模型

描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

一、控制系统数学模型的分类(动态)

时域：微分方程、差分方程、状态空间表达式 复域：传递函数、动态结构图、信号流图 频域：频率特性

表达形式如下图：

二、控制系统微分方程的建立

2.1 步骤

1. 确定系统的输入、输出变量。
2. 根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程。
3. 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。
4. 整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。

2.2 举例

如图所示的$RLC$电路，试建立以电容上电压$uc(t)$为输出变量，输入电压$ur(t)$为输入变量的运动方程。

首先我们需要具备几个基本知识：

电阻、电容、电感数学模型的微分表达：

	$u(t)=i(t)·R$	$i(t)=\frac{u(t)}{R}$
	$u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\mathrm{d}t$	$i(t)=C\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}$
	$u(t)=\frac{1}{L}\int u(t)\mathrm{d}t$	$u(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$

则由基尔霍夫定律有

$$U_r(t)=Ri(t)+L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+u_c(t)$$

对

$$U_c(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\mathrm{d}t$$

进行两边求导有：

$$i(t)=C\frac{\mathrm{d}{u}_c(t)}{\mathrm{d}t}$$

联立消除中间变量得到方程：

$$LC\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_c(t)}{\mathrm{d}{t}^2}+RC\frac{\mathrm{d}{u}_c(t)}{\mathrm{d}t}+u_c(t)=U_r(t)$$

三、拉氏变换求解微分方程

传递函数的概念、定义和性质。

控制系统的结构图，结构图的等效变换。

控制系统的信号流图，结构图与信号流图间的关系，由梅孙公式求系统的传递函数